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48 OEUVR.ES DE CIIAR^KS IIKHMITK.
leur imprime un caractere special qui rappelle dans la theorie des
nombres la notion aiialytique de parties de /auctions. Telle est encore celte expression de la somme des diviseurs de ;i, moindres que y/n, dont M. Kronecker a montre le premier Pusage dans le beau travail que j'ai deja cite. Et il semble jusqu'ici que ce soit dans 1'evaluation, des sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les determinants suivent certaines progressions du second ordre, que ces trois fonctions se trouvent appelees a jouer leur principal role; inais, a cet egard, j'aurai surtout pour but de faire ressortir, dans le cas ou n est premier, la liaison qui existe entre le degre du discriminant et ces nombres de classes. Pour cela, il est necessaire que je d6*montre, comme je 1'ai ddja annonce, que le discriminant lie contient pas de facteurs mul- tiples autres que u et i — tt8, dont le degre de multiplicity soit superieura deux. |
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IV.
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Les valeurs de u par lesquelles les racines du discriminant, en
exceptant IL = o, «8 = i , out etc exprimees sous la forme |
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presentent ce caractere que deux quantit^s cp(w), cp (to') sonl.
essentiellement diflerentes du moment que w et w' ne dependeiil, pas de la meme Equation; et il en re"sulte, en premier lieu, que les valeurs communes que prennent respectivement deux racines de 1'equation modulaire pour zf = cp((o) et w = cp(w') ne pourront non plus jamais etre eg'ales. Ce point etabli, j'observe ensuite que le determinant Q2 — PR de 1'equation |
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Pcu24-
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-f- R
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etant residu quadradque de «, la congruence
P^2-HaQ*-i- R==o (mod /i )
admetj si P ii'est pas multiple du module, deux solutions re'elles |
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