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THEORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. 89
29 octobre 1867) les ^nonces de plusieurs beaux tlieoremes de
cette nature; ceux que je vais etablir dans cette Note et qui, si je ne me trompe, tiennent a d'autres principes, contribueront, je pense, avec les propositions dues a cet illustre ge"ometre, a jeter un nouveau jour sur une des plus importantes theories de 1'Arith- me*lique, en la raltachant par de nouveaux liens a 1'Algebre et a 1'Analyse transcendante. |
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I.
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Soit n un iiombre premier et B(<-», it) = o I'dquation. modu-
laire de degre n -+- 1 ; en faisant, pour abre"ger, e= ( — )> on
\ /l I
trouve tres aisemeiit que le produit des Carre's des differences des
racines p, prises deux a deux, et que je ddsignerai par D, a la
forme suivante :
D = ««-t-t(i — zt8)«+e(ao_|_a,M8_H a2t//io_Ht.,_h av?t8v)5
le polynome «oH- a\u* -\- ••• e"tant r^ciproque, c'est-a-dire que
aI-=av_j-, et no contenarit ni le facteur u, ni le facteur i — «8; quant au nombre v, il a pour valeur |
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Gela pose, je vais en premier lieu etablir que 13 est un cam: par-
fait. Je me fonderai pour cela sur la relation importante donne'e par Jacobi, entre le rauUipUcateui* M, le module propose et le |
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module transforme, savoir
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... i X(i —X2) dk
M2 = — • —----------;—- • .- •
n K(\ — k2) a A
En posant
«[6__e/; v f^ = ^r
dv ' c/u '
de sorte qu'on ait, en vertu de liquation modulaire.
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du 0(p, u)
dv ~ 3 (P, w)'
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